ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ

Вариационные принципы механики - Вариационные принципы механики - положения, устанавливающие свойства, которыми истинное, т. е. фактически происходящее под действием заданных сил, движение (или состояние равновесия) механической системы отличается от всех ее кинематически возможных движений (состояний), и позволяющие получить в качестве следствия уравнения движения или условия равновесия этой системы. Ряд вариационных принципов механики выражает эти свойства в виде, который позволяет распространить принцип на другие области физики. Этим обусловливается важность вариационных принципов механики для всей теоретической физики. Практическая ценность вариационных принципов механики заключается в том, что при применении их к решению задач механики из уравнений движения или условий равновесия исключаются наперед неизвестные реакции соответствующих связей. Устанавливаемое вариационным принципом механики свойство движения сводится во многих случаях (но не всегда) к тому, что для истинного движения системы некоторая физическая величина, являющаяся функцией кинематических и динамических характеристик этой системы, имеет экстремум (минимум или максимум). При этом вариационные принципы механики могут отличаться друг от друга видом той физической величины (той функции), которая для истинного движения является экстремальной, а также особенностями механических систем и классами тех движений, для которых это экстремальное свойство имеет место. По форме вариационные принципы механики можно разделить на дифференциальные, устанавливающие, чем истинное движение системы отличается от кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, устанавливающие это различие для перемещений, совершаемых системой за конечный промежуток времени. В рамках механики дифференциальные принципы имеют более общий характер, т. к. они приложимы к системам с любыми голономными и неголономными связями (см. Голономная система, Неголономная система). Интегральные принципы в их наиболее компактной форме приложимы только к голономным и даже только к консервативным системам. Однако выражение их через энергию и инвариантность по отношению к преобразованиям координат системы делает эти принципы приложимыми далеко за пределами классической механики. К основным дифференциальным вариационным принципам механики относятся: 1) принцип возможных перемещений, устанавливающий общее условие равновесия механической системы с идеальными связями, согласно которому положения равновесия отличаются от всех других положений системы тем, что только для положении равновесия сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю; 2) принцип Д'Аламбера-Лагранжа, устанавливающий общее свойство движения механической системы с идеальными связями, согласно которому истинное движение системы отличается от всех кинематически возможных тем, что только для истинного движения сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна в каждый момент времени нулю. Равенство, выражающее этот принцип математически, называется еще общим уравнением механики (см. Динамика). К другим дифференциальным вариационным принципам механики относятся принцип Журдена, принцип наименьшего принуждения (см. Гаусса принцип) и принцип наименьшей кривизны (см. Герца принцип). К интегральным вариационным принципам механики относятся так называемые принципы наименьшего, или стационарного, действия, согласно которым для данного класса сравниваемых друг с другом движений истинным является то, для которого физическая величина, называемая действием, имеет за время перемещения системы минимум (точнее, экстремум). Принцип наименьшего действия чаще всего применяется в форме Гамильтона-Остроградского или Мопертюи-Лагранжа. В принципе Гамильтона-Остроградского сравниваются движения, происходящие между двумя данными конфигурациями системы за один и тот же промежуток времени, а под действием в простейшем случае понимается определенный интеграл по времени от разности между кинетической и потенциальной энергиями системы. В принципе Мопертюи-Лагранжа сравниваются движения консервативной системы между двумя данными ее конфигурациями, происходящие с одной и той же начальной кинетической энергией, а под действием понимается определенный интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии системы (подробнее см. Наименьшего действия принцип). Вариационные принципы механики применяются для составления уравнений движения механической системы и изучения общих свойств этих движений, а также при соответствующем обобщении понятий в механике сплошных сред, в термодинамике, электродинамике, квантовой механике, теории относительности и других.