ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Векторный анализ - Векторный анализ - раздел математики, в котором изучаются скалярные и векторные поля и различные операции с ними. Скалярное поле сопоставляет каждой точке (3-мерного) пространства некоторое (действительное) число (, а векторное поле - некоторый вектор (a=a(r)). Если точка задается своими декартовыми координатами, а вектор - своими компонентами , то градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля выражаются формулами: , Градиент, дивергенцию и ротор удобно выражать с помощью символического вектора (набла), компонентами которого являются операторы дифференцирования по координатам, Действуя этим символическим вектором на скалярные и векторные поля по правилам векторной алгебры, получим: , , Скалярный квадрат вектора у представляет собой Лапласа оператор, или лапласиан, который обозначается : Формальное применение правил векторной алгебры к вектору приводит к ряду соотношении между градиентом, дивергенцией и ротором, например, , или ; , или ; , или При такого рода формальных преобразованиях необходимо следить, чтобы дифференциальный оператор в окончательном выражении стоял слева от той функциии, на которую он действует. Если оператор действует на произведение двух функций, то по правилу Лейбница (правило дифференцирования произведения) можно записать результат в виде суммы двух членов: , или , Сочетая правило Лейбница с правилами векторной алгебры, можно получать соотношения такого типа: или В случае более сложных алгебраических выкладок па промежуточных этапах следует отмечать стрелкой ту функцию, на которую действует оператор , не заботясь о порядке следования оператора и функций, и лишь на последнем этапе возвращаться к обычному порядку: или Таким образом, получаем: , , Все основные дифференциальные операции векторного анализа имеют определенный смысл, поэтому значения выражений , div a, rota не зависят от выбора системы координат. Все соотношения между дифференциальными выражениями также носят инвариантный характер. В приложениях часто встречаются поток вектора через заданную поверхность и интеграл от него вдоль заданной кривой: , Здесь - проекция вектора a на нормаль к поверхности в данной точке, -проекция его на единичный вектор , касательный к кривой, dS - элемент площади поверхности, dl - элемент длины кривой. Пусть a - распределение скоростей движущейся жидкости, тогда первый интеграл равен объему жидкости, пересекающей данную поверхность в единицу времени. Если a - силовое поле, то второй интеграл равен работе, совершаемой при перемещении пробного тела вдоль данной кривой. В случае замкнутой кривой такой интеграл называется циркуляцией векторного поля. Эти интегралы фигурируют в основных теоремах векторной алгебры - Гаусса - Остроградского формуле и Стокса формуле: , . Здесь - поверхность, являющаяся границей области V, а - кривая, ограничивающая поверхность S. Кружки на значках интегралов означают, что интегрирование ведется по замкнутой поверхности и замкнутой кривой. Положительное направление нормали к поверхности S должно быть ориентировано относительно направления обхода контура так же, как положительное направление оси x3 - относительно положительного направления вращения в плоскости x1, x2. Полагая в формуле Гаусса-Остроградского , получим важную теорему Грина Ее следствием является формула Другие интегральные теоремы можно получить как следствия уже сформулированных: , Понятия векторного анализа, определенные выше для евклидова пространства, можно обобщить на риманово пространство и другие многообразия. Дифференциальные операции приводят к понятию ковариантной производной, интегральные теоремы формулируются на языке дифференциальных форм.