АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ

Автомодельность - Автомодельность - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия других динамических переменных. Автомодельность приводит к эффективному сокращению числа независимых переменных. Например, если состояние системы характеризуется функцией , где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов , и преобразования подобия таково: . где - числа. Выбор , где m - критерий подобия (параметр), придаёт первоначальной функции автомодельный вид Т. о., функция u при постоянном m зависит только от комбинации . Автомодельность возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа: Анализ размерностей. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и функций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид m = Х0/b, где b - параметр, имеющий размерность [b] = , X0, Т0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации x/b, y/b, z/b. В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает уравнение с частными производными в обыкновенное дифференциальное уравнение. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных u=rf(x/) или, в более общем виде, u=, . Уравнения, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений , и не для любых функций и . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собственные значения. Исследование групповых свойств уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка fj (хi, uk, pik) = 0, где хi - независимые переменные, uk - искомые функции, рik = . Всевозможные замены переменных хi, uk, допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются ее однопараметрической подгруппой растяжений. В некоторых случаях найти такие замены позволяет следующая процедура. В пространстве переменных хi, uk группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид Х = , где - некоторые функции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных хi, uk, pik группа Ли задаётся генераторами где . Система уравнений fj = 0 определяет гиперповерхность в пространстве переменныххi, uk, pik, которая является инвариантом группы при условии Хfj = 0, когда fj = 0; эти условия служат для определения функций \xi_i (х, и) и \eta_k (х, u). Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами уравнения . Например, для двух независимых переменных х, t и одной искомой функции u оператор растяжений имеет вид X = - числа. Набор первых интегралов уравнения таков: , поэтому автомодельное решение уравнений, допускающих группу растяжений, будет иметь вид - новая искомая функция. Рассмотрим, например, уравнение Кортевега-де Фриса , где - постоянный параметр; оно инвариантно относительно преобразования . Генератор - оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид Подставляя это решение в исходное уравнение, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции : Однопараметрическая группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на других однопараметрических абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида , для которых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена переводит волновое решение f в автомодельное: Автомодельность, отражающая внутреннюю симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении различных физических задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение). Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных уравнение ренормгрушгы оказывается тождественным одномерному уравнению переноса излучения. В физике элементарных частиц автомодельность выражается в том, что сечения некоторых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.